Rumus-rumus turunan fungsi aljabar

Sedikit rangkuman sederhana hanya sebagai pengingat….

jika  f(x) adalah fungsi dan f’(x) (dibaca f  aksen) adalah turunan dari f(x)

Teorema A

Aturan fungsi konstanta

Jika f(x) = k, dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f ‘ (x) = 0; yakni,

f ’(k) = 0

contoh

f ’(2) = 0

f ’(5) = 0

Teorema B

Aturan fungsi satuan

Jika f(x) sebuah fungsi identitas atau f(x) = x maka

f ‘ (x) = 1

contoh

a)      f (x) = x   

f ’(x) = 1

b)      f (x) = 2x

f ’(x) = 2  

Teorema C

Aturan pangkat

Jika f(x) = xⁿ, dengan n bilangan bulat positif maka

f ‘ (xⁿ) = nx^n-1

contoh

f (x) = x³

f ’(x) =3x^3-1

 f ’(x) = 3x²

Teorema D

Aturan kelipatan konstanta

Jika f(x) = ku(x) dengan k konstanta real dan u(x) suatu fungsi dari x yang mempunyai turunan u’(x) maka

f ‘ (x) = k ⋅u’(x)

contoh

f (x) = 7x³= ku(x)

f ’ (x) = 7 ⋅  u’(x)

 f ’(x) = 7 ⋅ 3x²

 f ’ (x) = 21x²

Teorema E

Aturan jumlah dan selisih

Jika f (x) = u(x) ± v(x) dengan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi yang mempunyai turunan u’(x) dan v’(x)

f ‘(x) = u'(x) ± v’(x)

contoh

a)      f (x) = 5x² + 3x

f ‘(x) = 10x + 3

b)      f (x) = 3x³ – 2x

f ‘(x) = 9x²- 2

c)      f (x) = 4x² + 2x – 5

f ’ (x) = 8x + 2

Teorema F

Aturan hasil kali

Jika f (x) = u(x) ⋅ v(x) dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan u’(x) dan v’(x) maka

f ‘ (x) = u’(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v’(x)

contoh

f(x) = (x³ – 2x) ⋅ (2x² – x)

u(x) = (x³ – 2x)

u’(x) = 3x² - 2

 v(x) = (2x² – x)

v’(x) = 4x -1

f ‘(x) = (3x² – 2) ⋅ (2x² – x) + (x³ – 2x) ⋅ (4x -1)

= 6x⁴-3x³-4x²+2x+4x⁴-x³-8x²+2x = 10x⁴-4x³-12x²+4x

Teorema G

Aturan hasil bagi

jika f (x) = u(x)/v(x)   dengan v (x) ≠ 0 serta u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi yang mempunyai turunan u’(x) dan v’(x) maka

f ‘ (x) = u’(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v’(x)/ {v(x)}²

Contoh

f(x) = (x³ – 2x) : (2x² – x)

u(x) = (x³ – 2x)

u’(x) = 3x² - 2

 v(x) = (2x² – x)

v’(x) = 4x -1

f ‘(x) = (3x² – 2) ⋅ (2x² – x) - (x³ – 2x) ⋅ (4x -1) / (2x² – x)²

= (6x⁴-3x³-4x²+2x - 4x⁴-x³-8x²+2x) / (2x² – x)²

= . . .

Teorema H

Fungsi f(x) = {u(x)}ⁿ , dengan u(x) adalah fungsi dari x yang mempunyai turunan u’(x) dan n adalah bilangan real maka  

f ‘(x)  = n{u(x)}^n-1  ⋅ u’(x)

contoh

f(x) = (2x²-3)²

f ’ (x) = 2 ⋅ (2x²-3)^2-1 ⋅ 4x

f ’ (x) = 8x (2x²-3)